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Nalini Anantharaman
Géométrie spectrale
Collège de France
Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds
Frédéric Faure
Université Grenoble Alpes
Résumé
La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse.
Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta.
Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique.
On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques.
Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196.
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08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II)
Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds
Silvia Pappalardi
Université de Cologne
Résumé
In the past few years, there has been considerable activity around a set of quantum bounds on transport coefficients (viscosity, conductivity) and chaos (Lyapunov exponents), relevant at low temperatures. The interest comes from the fact that black-hole models seem to saturate all of them. However, the relation between the different bounds and physical properties of the systems saturating the is still a matter of ongoing research.
In this talk, I will discuss how one can gain physical intuition by studying classical and quantum free dynamics on curved manifolds. Thanks to the curvature, such models display chaotic dynamics up to low temperatures, and – as I will show how – they violate the bounds in the classical limit.
The talk aims to discuss three different ways in which quantum effects arise to enforce the bounds in practice. For instance, I will show how chaotic behavior is limited by the quantum effects of the curvature itself. As an illustrative example, I will consider the simple case of a free particle on a two-dimensional manifold, constructed by joining the surface of constant negative curvature – a paradigmatic model of quantum chaos – to a cylinder. The resulting phenomenology can be generalized to the case of several (constant) curvatures. The presence of a hierarchy of length scales enforces the bound to chaos up to zero temperature.
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07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I)
Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes
Sébastien Gouëzel, Université Rennes 1
Résumé
Les résonances de Ruelle sont des caractéristiques d'un système dynamique qui décrivent les asymptotiques fines des corrélations en temps grand. Il est maintenant bien connu que cette notion est bien définie pour les systèmes uniformément hyperboliques lisses sur les variétés compactes. Dans cet exposé, je m'intéresserai au cas du flot géodésique sur des variétés non compactes. Dans une certaine classe de variétés (appelées SPR), j'expliquerai qu'on peut définir des résonances de Ruelle dans un demi-plan, dont l'abscisse est donnée par un exposant critique à l'infini.
Travail avec Barbara Schapira et Samuel Tapie.
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06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes
Récemment, Dang et Rivière ont démontré une identité remarquable, qui exprime la valeur en 0 des séries de Poincaré de n'importe quelle surface de courbure négative en fonction de la caractéristique d'Euler. Ainsi, une série de Dirichlet définie à partir des longueurs des géodésiques, possède une valeur en 0 qui dépend uniquement de la topologie de la surface. Dans ce cours, nous démontrons un théorème analogue pour les graphes. Nous reprenons la méthode de Dang et Rivière, mais le fait de travailler sur un espace discret demande de modifier significativement certaines étapes.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Poincaré Series and Convex Bodies on Flat Tori
Nguyen Viet Dang, Institut de Mathématiques de Jussieu
Résumé
I will start to motivate few recent results on Poincaré series from a naive personal viewpoint. Then I will report on joint work with Yannick Bonthonneau, Matthieu Léautaud, Gabriel Rivière where we consider Poincaré series on the torus which count orthogeodesics between convex bodies. When the convex are analytic, the Poincaré series has analytic extension through the imaginary axis as a multivalued holomorphic function with an infinite number of branching points. We determine explicitely the monodromy around these singular points.
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06 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II)
Nous terminerons le calcul des résonances de Ruelle d'une surface hyperbolique compacte, commencé au dernier cours en utilisant la théorie des représentations de PSL(2, R). Nous traiterons en détail le cas des séries principales. Nous calculerons les coefficients de Fourier des états résonants et en déduirons qu'ils appartiennent à des espaces de Sobolev négatifs. On fera ensuite une brève présentation de la théorie des espaces de Sobolev anisotropes, afin de comparer les résultats obtenus par les deux méthodes (théorie des représentations / espaces anisotropes).
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Projecteurs spectraux sur les surfaces hyperboliques
Jean-Philippe Anker, Université d'Orléans
Résumé
Dans une collaboration en cours avec Pierre Germain et Tristan Léger, nous nous intéressons aux normes L2 - Lp des projecteurs spectraux dans de petites fenêtres spectrales sur les surface hyperboliques d'aire infinie. En l'absence de « cusps », nous obtenons des estimations quasi optimales et meilleures qu'en courbure non négative. Après un rappel historique du sujet, qui remonte au théorème de restriction de Stein-Tomas, nous donnerons un aperçu des méthodes utilisées pour parvenir à ce résultat.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Determinants of Laplacians and Random Surfaces
Frédéric Naud, Sorbonne Université
Résumé
In this talk we will discuss the asymptotic behavior of determinants of Laplacians on random surfaces of large genus. We will motivate this problem by questions related to quantum field theory and topology of hyperbolic manifolds.
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Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs
Alicia Kollár, University of Maryland
Résumé
After two decades of development, superconducting circuits have emerged as a rich platform for quantum computation and simulation. When combined with superconducting qubits, lattices of coplanar waveguide (CPW) resonators can be used to realize artificial photonic materials or photon-mediated spin models. Here I will highlight the special properties of this hardware implementation that lead to these lattices naturally being described as line graphs. Elucidating this connection required combining theoretical and computational methods from both physics pure mathematics, and has lead not only to a new understanding of the physics of these devices [1, 2], but also new results regarding spectral gaps of 3-regular graphs [3], and a framework for studying a new class of topologically-protected quantum error correcting codes [4].
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03 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2)
Résumé
Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.
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Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs
Peter Sarnak, Princeton University / IAS Princeton
Résumé
The spectra of large locally uniform geometries have been studied widely and from different points of view. They include Ramanujan Graphs and Buildings, euclidean and hyperbolic spaces and more general locally symmetric spaces. We review some of these briefly highlighting rigidity features. We then focus on the simplest case of finite cubic graphs which prove to be surprisingly rich with structure and applications in combinatorics,physics and chemistry. As one imposes restrictions on these graphs, planarity, fullerenes, ... their spectra become rigid. Joint work with Alicia Kollar and Fan Wei.
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Année 2023-2024
02 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique (1)
Résumé
Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.
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Année 2023-2024
Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Curves, Surfaces and Intersection
Hugo Parlier, Université du Luxembourg
Résumé
Understanding curves on surfaces has become a primary tool for understanding their hyperbolic structures and associated moduli spaces. This talk will be on understanding curves through their intersection with other curves and themselves.
For instance, through classical work of Dehn, simple closed curves can be described using intersection numbers with other simple curves. An underlying theme will be to figure out to what extent you can describe all curves in a similar fashion. More generally, curves are fabulous objects to experience the interplay between the topology and geometry of hyperbolic surfaces.
Part of the talk will be based on joint work with Binbin Xu.
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Année 2023-2024
01 - Spectres de graphes et de surfaces
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Géométrie spectrale
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Année 2022-2023
Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : From Unitary Dynamics to Statistical Mechanics in Isolated Quantum Systems
Intervenant(s) : Marcos Rigol, Penn State University
Résumé
Experiments with ultracold gases have made it possible to study dynamics of (nearly-) isolated quantum many-body systems, which has revived theoretical interest on this topic. In generic isolated systems, one expects nonequilibrium dynamics to result in thermalization: a relaxation to states where the values of macroscopic quantities are stationary, universal with respect to widely differing initial conditions, and predictable through the time-tested recipe of statistical mechanics. However, it is not obvious what feature of a many-body system makes quantum thermalization possible, in a sense analogous to that in which dynamical chaos makes classical thermalization possible. Underscoring that new rules could apply in the quantum case, experimental studies in one-dimensional systems have shown that traditional statistical mechanics can provide wrong predictions for the outcomes of relaxation dynamics. We show that isolated "nonintegrable" systems do in fact relax to states in which observables are well-described by statistical mechanics. Moreover, we argue that the time evolution itself only plays an auxiliary role as thermalization occurs at the level of individual eigenstates.
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